Como as taxas de juro para diferentes prazos estão interligadas — e por que razão isso é importante
Um modelo paramétrico para estimação da curva de rendimentos utilizado por bancos centrais e instituições financeiras em todo o mundo
Quando um governo pede dinheiro emprestado através da emissão de obrigações, paga taxas de juro diferentes consoante o prazo do empréstimo. Uma obrigação a um ano poderá pagar 4%, enquanto uma obrigação a 10 anos poderá pagar 4,5%. Uma curva de rendimentos é simplesmente uma linha que representa estas taxas de juro ao longo de todos os prazos.
O desafio é que os governos não emitem obrigações para todos os prazos possíveis. Podem existir obrigações a 1, 2, 5, 10 e 30 anos — mas qual é a taxa para 7 anos, ou 12? Uma curva de rendimentos preenche essas lacunas ajustando uma linha suave aos pontos de dados disponíveis, fornecendo-nos uma taxa estimada para qualquer prazo.
O método Nelson-Siegel-Svensson é uma das abordagens mais amplamente utilizadas para construir estas curvas. É o método padrão em muitos dos bancos centrais do mundo.
O modelo Nelson-Siegel-Svensson (NSS) é uma abordagem paramétrica para a estimação da curva de rendimentos que oferece um equilíbrio prático entre interpretabilidade teórica e ajustamento empírico. Ao estender a estrutura original de três fatores de Nelson-Siegel com um termo de curvatura adicional, é capaz de acomodar a gama de formas de curva de rendimentos tipicamente observadas nos mercados de obrigações soberanas.
O modelo Nelson-Siegel-Svensson constrói uma curva de rendimentos utilizando seis parâmetros. Cada um controla um aspeto diferente da forma da curva:
Ao ajustar estes seis valores, o modelo consegue reproduzir praticamente qualquer forma de curva de rendimentos observada na prática.
β₀ (Nível): A taxa de juro para a qual as obrigações de muito longo prazo convergem
β₁ (Inclinação): Valores negativos produzem a curva típica com inclinação ascendente; valores positivos produzem uma inclinação descendente
β₂ (Curvatura): Valores positivos criam uma corcova; valores negativos criam um vale
λ₁: Posiciona o primeiro efeito de curvatura ao longo do espectro de maturidades
λ₂: Posiciona o segundo efeito de curvatura, tipicamente nos prazos mais longos
O objetivo da estimação: Encontrar a combinação de parâmetros que melhor se ajuste aos rendimentos de mercado observados
O modelo NSS especifica o rendimento de cupão zero com maturidade τ como a soma de uma constante mais três componentes de decaimento exponencial:
Onde $\tau$ é o tempo até à maturidade e $\{\beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_3, \lambda_1, \lambda_2\}$ são estimados por mínimos quadrados não lineares
Rendimento assintótico
O rendimento para o qual a curva converge à medida que a maturidade aumenta sem limite. Reflete as expetativas de longo prazo para taxas reais e compensação da inflação.
Fator de inclinação
Determina o diferencial entre os rendimentos de curto e longo prazo. Valores negativos produzem a curva com inclinação ascendente observada em condições normais de mercado.
Primeiro fator de curvatura
Governa a curvatura no segmento intermédio. A sua função de carga em forma de corcova permite ao modelo capturar curvas de rendimentos em forma de corcova ou em U.
Extensão de Svensson
Proporciona um segundo grau de liberdade de curvatura, permitindo ao modelo ajustar-se a duplas corcovas, curvas em S e outras formas complexas frequentemente observadas durante transições de política monetária.
Taxa de decaimento de médio prazo
Controla a velocidade de decaimento exponencial do primeiro componente de curvatura. Valores mais baixos concentram o efeito nos prazos mais curtos.
Taxa de decaimento de longo prazo
Controla a velocidade de decaimento do termo de curvatura de Svensson. Geralmente definido com um valor superior a λ₁ para afetar prazos mais longos.
Utilize os controlos deslizantes abaixo para ajustar cada parâmetro e ver como a curva de rendimentos responde em tempo real. Comece por fazer pequenas alterações a um parâmetro de cada vez para desenvolver intuição sobre o que cada um faz.
Ajuste os parâmetros abaixo para observar como cada componente do modelo NSS afeta a forma da curva de rendimentos. A visualização ilustra a sensibilidade da forma funcional a variações individuais dos parâmetros.
A curva de rendimentos nem sempre tem o mesmo aspeto. A sua forma muda à medida que as expetativas do mercado se alteram, e cada configuração transmite um sinal económico distinto.
A morfologia da curva de rendimentos codifica as expetativas do mercado relativamente à política monetária, ao crescimento e à inflação. A estrutura de parâmetros do modelo NSS mapeia diretamente para a taxonomia padrão de formas, com fatores de nível, inclinação e curvatura correspondentes a diferentes determinantes económicos.
Forma: Inclinação ascendente da esquerda para a direita
Significado: Os investidores exigem maiores retornos por imobilizarem capital por períodos mais longos. Este é o padrão típico em economias estáveis e em crescimento.
Condições típicas: Expansão económica estável
Parâmetros: β₁ < 0, β₂ ≈ 0
Reflete um prémio de prazo positivo que compensa os investidores pelo risco de duração. Consistente com expetativas de expansão económica continuada e de política monetária estável ou restritiva.
Forma: Inclinação descendente — as taxas de curto prazo superam as de longo prazo
Significado: Os mercados esperam que a economia abrande e que as taxas de juro diminuam. Historicamente, as inversões têm precedido a maioria das recessões nos EUA.
Condições típicas: Final do ciclo económico, antes de uma recessão
Parâmetros: β₁ > 0, β₂ < 0
Indica expetativas do mercado de afrouxamento monetário futuro, tipicamente impulsionadas por contração económica antecipada. Um indicador avançado estabelecido de recessões, refletindo tanto as expetativas de política monetária como as dinâmicas de fuga para a qualidade.
Forma: Taxa aproximadamente igual para todos os prazos
Significado: Os mercados percebem um risco aproximadamente igual em todos os horizontes, frequentemente porque as perspetivas económicas são incertas
Condições típicas: Períodos de transição entre expansão e contração, ou entre regimes de política monetária
Parâmetros: β₁ ≈ 0, β₂ ≈ 0
Um prémio de prazo próximo de zero, tipicamente ocorrendo durante transições entre regimes de política monetária. Os fatores de curto e longo prazo compensam-se aproximadamente.
Forma: As taxas de médio prazo são superiores tanto às de curto como às de longo prazo
Significado: Os mercados podem esperar uma restrição monetária a curto prazo seguida de eventual afrouxamento, criando um pico no meio da curva
Condições típicas: Incerteza de política monetária, dados económicos mistos
Parâmetros: β₂ > 0 (curvatura positiva)
Tipicamente reflete expetativas de um ciclo de restrição da política monetária seguido de subsequente afrouxamento, ou desequilíbrios de oferta e procura concentrados em segmentos específicos de maturidade.
Forma: As taxas de médio prazo são inferiores tanto às de curto como às de longo prazo
Significado: Configuração incomum que pode refletir intervenções específicas do banco central, como compras de obrigações em larga escala focadas em prazos específicos
Condições típicas: Raro, geralmente associado a política monetária não convencional
Parâmetros: β₂ < 0 (curvatura negativa)
Uma configuração relativamente incomum, tipicamente associada a programas de flexibilização quantitativa que visam segmentos específicos de maturidade, ou a efeitos pronunciados de segmentação de mercado.
Explore o modelo de forma prática. Esta folha de cálculo pronta a usar apresenta o método Nelson-Siegel-Svensson com dados reais.
O que está incluído:
Um modelo de implementação funcional para estimação de parâmetros NSS usando o Solver do Excel com dados de mercado.
Características:
Folha de cálculo pronta a usar com dados de amostra Modelo de otimização profissional com configuração do Solver
Transferir Modelo ExcelRequer Excel 2016 ou superior
O suplemento Solver deve estar ativado
Uma vez que temos a fórmula do modelo, precisamos de encontrar os valores específicos dos parâmetros que produzem uma curva que se aproxime o mais possível dos rendimentos reais das obrigações. Isto é feito através de um processo de otimização: um computador ajusta sistematicamente os parâmetros, compara a curva resultante com os dados de mercado e repete até encontrar o melhor ajustamento.
Na prática, a estimação utiliza mínimos quadrados não lineares — uma técnica padrão que minimiza as diferenças ao quadrado entre os rendimentos previstos pelo modelo e os rendimentos observados no mercado.
Recolher os preços atuais das obrigações num conjunto de prazos (por exemplo, obrigações do Estado a 1, 5, 10 e 30 anos)
Converter os preços das obrigações nas respetivas taxas de juro (rendimentos até à maturidade)
Escolher estimativas iniciais razoáveis dos parâmetros para fornecer ao algoritmo de otimização um ponto de partida
Permitir que o algoritmo ajuste iterativamente os parâmetros até que a curva do modelo corresponda o mais possível aos rendimentos observados
Precisão: A curva ajustada deve acompanhar de perto os rendimentos reais do mercado
Suavidade: A curva deve estar isenta de saltos erráticos ou formas implausíveis
Plausibilidade económica: As taxas implícitas devem ser realistas (por exemplo, sem taxas de longo prazo negativas quando não existem no mercado)
Consistência: O método deve produzir resultados estáveis e reprodutíveis de dia para dia
A estimação dos parâmetros envolve um problema de mínimos quadrados não lineares com restrições. O objetivo é minimizar os desvios ao quadrado entre os rendimentos observados no mercado e os rendimentos implícitos no modelo, sujeitos a restrições de positividade nos parâmetros de decaimento e a limites opcionais que impõem plausibilidade económica.
Reunir uma secção transversal limpa de rendimentos de obrigações do Estado abrangendo o espectro de maturidades, filtrando por liquidez e representatividade
Converter os preços das obrigações em rendimentos de cupão zero através de bootstrapping ou métodos iterativos, considerando a estrutura de cupão e os juros acumulados
Definir os valores iniciais dos parâmetros usando priores económicos ou uma pesquisa em grelha para evitar a convergência para mínimos locais
Aplicar algoritmos de Levenberg-Marquardt, região de confiança ou similares com limites de parâmetros adequados
Sujeito a: λ₁, λ₂ > 0 e restrições de plausibilidade económica
As curvas de rendimentos podem parecer abstratas, mas influenciam as taxas de juro com que nos deparamos todos os dias — em hipotecas, empréstimos automóvel, contas poupança e fundos de pensões. Eis como diferentes instituições as utilizam.
O que fazem: Os bancos utilizam a curva de rendimentos para definir taxas em hipotecas, contas poupança e empréstimos a empresas
Por que razão importa: Uma curva bem estimada ajuda a garantir uma precificação justa — não paga em excesso nos empréstimos nem recebe menos nas poupanças
Exemplo: A taxa de uma hipoteca fixa a 30 anos deriva, em parte, da extremidade longa da curva de rendimentos
O que fazem: Os bancos centrais monitorizam a curva para avaliar como as suas decisões de política monetária estão a ser transmitidas à economia em geral
Por que razão importa: Estas decisões influenciam a inflação, o emprego e o custo do crédito
Exemplo: Quando a Reserva Federal considera alterar as taxas de juro, os sinais da curva de rendimentos são um dado fundamental
O que fazem: Os gestores de fundos utilizam curvas de rendimentos para avaliar obrigações e gerir o risco de taxa de juro em fundos de pensões e fundos de investimento
Por que razão importa: Uma avaliação precisa conduz a valorizações mais fiáveis das obrigações na sua conta de reforma ou plano de poupança
Exemplo: Um fundo de pensões utiliza a curva diariamente para avaliar a sua carteira de obrigações e verificar se consegue cumprir as obrigações futuras
O modelo NSS serve como infraestrutura fundamental para os mercados de rendimento fixo. A sua ampla adoção por bancos centrais, instituições financeiras e organismos reguladores reflete a procura de um modelo de curva de rendimentos que seja transparente, reprodutível e economicamente interpretável.
O método Nelson-Siegel-Svensson é amplamente reconhecido, mas, como qualquer modelo, tem limitações. Compreender onde funciona bem e onde é menos eficaz é essencial para o utilizar de forma responsável.
Condições extremas de mercado: Durante graves deslocações de mercado, a forma funcional suave do modelo pode não capturar adequadamente distorções acentuadas na curva
Dependência da qualidade dos dados: Obrigações ilíquidas ou preços desatualizados podem distorcer a curva ajustada
Não é uma ferramenta de previsão: O modelo descreve a curva à data de hoje — não prevê para onde as taxas irão amanhã
Risco de extrapolação: As estimativas são menos fiáveis para prazos muito curtos (abaixo de 3 meses) ou muito longos (além de 30 anos) onde os dados são escassos
Controlos de qualidade: Verificações sistemáticas asseguram que a curva ajustada é economicamente plausível
Triagem de dados: Os preços de obrigações ilíquidas ou anómalos são identificados e excluídos antes da estimação
Indicadores de confiança: Muitas implementações reportam quão bem o modelo se ajusta às diferentes partes da curva
Reestimação frequente: A curva é recalculada regularmente com os dados de mercado mais recentes
O modelo NSS oferece flexibilidade substancial e interpretabilidade económica, mas várias limitações inerentes merecem consideração tanto em contextos de investigação como operacionais.
As implementações operacionais abordam estas limitações através de técnicas de otimização robustas, validação rigorosa de dados, comparação entre modelos e monitorização contínua. A prática padrão inclui verificações de plausibilidade económica, diagnósticos de resíduos e validação fora da amostra.