Como a ferramenta FedWatch calcula uma árvore de probabilidades para múltiplas reuniões do Fed
Os fundamentos matemáticos do arcabouço de árvore binária de probabilidades expansível do Grupo CME
A ferramenta CME FedWatch utiliza uma estrutura de "árvore de expansão" para calcular as probabilidades das decisões de taxa de juros do Fed. É chamada de "expansão" porque constrói uma estrutura de ramificações que cresce a cada reunião do FOMC (Comitê Federal de Mercado Aberto), mapeando todas as sequências possíveis de variações de taxa.
Cada reunião do FOMC tem dois resultados principais: ou o Fed ajusta a taxa em 25 pontos base (para cima ou para baixo), ou a taxa permanece inalterada. Após uma reunião, há dois níveis possíveis de taxa. Após duas reuniões, há três níveis possíveis (mas quatro caminhos para chegar a eles). Após três reuniões, há quatro níveis possíveis, acessíveis por oito caminhos distintos.
Esse crescimento combinatório — em que cada reunião dobra o número de caminhos — forma uma estrutura em "árvore". A metodologia CME atribui probabilidades a cada ramificação com base nos preços dos contratos futuros de fundos federais e, em seguida, percorre todos os caminhos possíveis para calcular a probabilidade de diferentes resultados de taxa após várias reuniões futuras.
A metodologia CME utiliza os preços dos futuros para calcular as probabilidades de cada caminho por essa árvore. É chamada de "padrão ouro" por ser transparente, sistemática e amplamente utilizada em todo o mundo.
A ferramenta CME FedWatch emprega uma árvore binária de probabilidades expansível para extrair probabilidades implícitas no mercado das decisões de taxa do FOMC a partir dos preços dos contratos futuros de fundos federais de 30 dias. Essa metodologia é o método baseado em derivativos mais amplamente citado na literatura de extração de expectativas de política monetária.
Inovação Central: O arcabouço da árvore de expansão resolve elegantemente o desafio de converter informações contínuas dos preços dos futuros em distribuições de probabilidade discretas sobre múltiplas decisões de política consecutivas. Ao impor restrições estruturais em cada nó (ramificação binária) enquanto mantém a flexibilidade (acomodando a precificação de mercado), a metodologia equilibra tratabilidade e responsividade ao mercado.
Fundamentos Teóricos: O método repousa sobre o Teorema Fundamental de Precificação de Ativos, que estabelece a existência de uma medida de probabilidade neutra ao risco — sob a qual os preços dos futuros são iguais à taxa à vista esperada. Para contratos futuros de fundos federais, em que a taxa de curto prazo é determinada ao longo do mês do contrato, isso se simplifica para:
Esta página fornece documentação técnica abrangente da metodologia da Árvore de Expansão CME:
Para que a metodologia CME funcione, ela precisa fazer algumas simplificações. Esses pressupostos nem sempre são completamente precisos, mas são suficientemente próximos da realidade na maioria das situações para produzir boas estimativas.
O que significa: O Fed ajusta as taxas em incrementos de 0,25% (um quarto de ponto percentual)
Verificação com a realidade: Geralmente correto! O Fed prefere movimentos de 25 pontos base. Mas em situações de emergência (como em 2022), às vezes ajusta 50 ou 75 pontos base.
O que significa: Quando o Fed aumenta a taxa-alvo em 25 pontos base, a taxa efetiva dos fundos federais (a taxa realmente negociada no mercado) também sobe 25 pontos base
Verificação com a realidade: Muito próximo da realidade no regime atual de reservas abundantes
O que significa: As taxas não podem ficar abaixo de zero
Verificação com a realidade: Correto para os EUA. (Alguns outros países, como o BCE, já tiveram taxas negativas, mas isso é outro assunto.)
O que significa: Em cada reunião do Fed, apenas dois resultados podem acontecer — ou o resultado esperado pelo mercado, ou um passo diferente (25 pontos base acima ou abaixo)
Verificação com a realidade: Esta é uma simplificação. Às vezes o mercado realmente tem incerteza genuína entre três resultados.
O que significa: O Fed ajusta as taxas somente nas 8 reuniões regulares por ano, nunca entre as reuniões
Verificação com a realidade: Geralmente correto. Ajustes emergenciais entre reuniões são raros (o mais recente foi em março de 2020, durante a COVID-19)
O que significa: A taxa no final de um mês é a mesma que no início do mês seguinte
Verificação com a realidade: Correto! As taxas não saltam abruptamente na virada do mês.
O que significa: Os preços dos futuros refletem o que os operadores esperam que aconteça, não o que temem ou esperam ansiosamente
Verificação com a realidade: Não completamente! Pesquisas mostram que os preços dos futuros contêm um "prêmio de risco" — operadores pagam um pouco a mais como seguro. Discutiremos isso mais adiante.
A metodologia da Árvore de Expansão CME é construída sobre sete pressupostos fundamentais que restringem o problema de extração de probabilidades a uma forma tratável. Compreender esses pressupostos é essencial para avaliar quando a metodologia oferece orientação confiável e quando abordagens alternativas são necessárias.
Justificativa: Desde meados da década de 1990, o Fed demonstra forte preferência por ajustes de um quarto de ponto percentual, refletindo os objetivos de gradualismo e previsibilidade na implementação da política monetária.
Casos de Violação: O pressuposto falha quando o Fed executa ajustes maiores em períodos de crise (movimentos de 50 ou 75 pontos base ocorreram em 2001–2002, 2008 e 2022–2023). A metodologia acomoda isso calculando probabilidades para incrementos maiores, mas a estrutura de árvore binária não consegue representar distribuições genuinamente trimodais — quando há massa de probabilidade significativa em três resultados distintos.
Justificativa: No regime atual de reservas abundantes, em que os Juros sobre Saldos de Reservas (IORB) são a ferramenta primária, a taxa efetiva dos fundos federais acompanha de perto o ponto médio da banda-alvo do FOMC (ou seja, o IORB), com um spread muito pequeno, tipicamente de 1 a 5 pontos base.
Contexto Histórico: O pressuposto é dependente do regime de política. Funciona bem sob reservas abundantes (2020–presente), mas não se aplica ao regime de corredor pré-2008 ou ao regime de reservas escassas de 2017–2019.
Justificativa: No contexto institucional dos EUA, as taxas nominais negativas enfrentam barreiras legais e operacionais. O Fed afirmou consistentemente que taxas negativas não são consideradas uma ferramenta de política viável.
Ressalva Internacional: Esse pressuposto não é universal — o BCE, o Banco do Japão, o Banco Nacional Suíço e outros já implementaram taxas de política negativas. Aplicar métodos semelhantes ao CME nessas jurisdições requer modificações correspondentes.
Justificativa: A estrutura binária simplifica enormemente os cálculos. Em cada nó, o mercado pode atribuir probabilidade \(p\) a um resultado e \((1-p)\) ao outro, extraível da parte fracionária da variação de taxa esperada.
Limitação: Esta é a simplificação excessiva mais significativa da metodologia. Em períodos de incerteza genuína (como no início de 2023, quando o mercado debatia entre manutenção/alta/corte), restringir os resultados a dois distorce a distribuição de probabilidade. A ferramenta não consegue representar nativamente cenários como \(P(\text{Resultado}A) = 0,4\), \(P(\text{Resultado}B) = 0,35\), \(P(\text{Resultado}C) = 0,25\).
Justificativa: Ajustes entre reuniões são historicamente raros, ocorrendo apenas em circunstâncias extremas (11 de setembro, crise financeira de 2008, crise de COVID-19 em março de 2020). Essa raridade justifica sua exclusão dos cálculos de probabilidade de linha de base.
Modo de Falha: Durante crises agudas em que ações entre reuniões se tornam possíveis, os mercados de futuros podem precificar probabilidades que a metodologia não consegue decompor corretamente, levando a estimativas de probabilidade incoerentes.
Justificativa: As taxas não sofrem descontinuidades na virada do mês. Essa condição de continuidade permite que a metodologia propague informações de taxa para frente e para trás ao longo de "meses âncora" sem reunião do FOMC.
Papel Técnico: O pressuposto é crucial para as regras de propagação do algoritmo, fornecendo equações de restrição para resolver as taxas de início e fim dentro de meses com reunião do FOMC.
Justificativa: A teoria padrão de precificação de derivativos estabelece que os preços dos futuros refletem expectativas neutras ao risco. Esse pressuposto permite a extração direta de probabilidades a partir dos níveis de preço.
Ressalva Importante: Uma substancial literatura empírica (Piazzesi & Swanson 2008; Hamilton & Okimoto 2011) documenta que os futuros de fundos federais contêm prêmios de risco positivos significativos — em média, 35 a 61 pontos base anualizados — que são contracíclicos e previsíveis. A metodologia extrai probabilidades neutras ao risco, não probabilidades físicas. Para previsão de política (em vez de medição de percepções de mercado), o ajuste do prêmio de risco é indispensável.
Os sete pressupostos juntos definem o domínio de aplicabilidade da metodologia CME:
Agora vamos percorrer passo a passo como a metodologia CME calcula as probabilidades, dividindo tudo em etapas simples.
Queremos saber: Qual é a probabilidade de o Fed aumentar, cortar ou manter as taxas na próxima reunião?
Para isso, precisamos de:
Um mês âncora é um mês sem reunião do Fed. Esses meses são muito úteis porque a taxa não muda ao longo do mês inteiro — simples assim! O preço dos futuros nos diz diretamente qual é o nível da taxa.
Exemplo: Se outubro não tem reunião do Fed e o preço do futuro de outubro é 96,94, então sabemos que a taxa média de outubro é 100 − 96,94 = 3,06%.
Olhe para o calendário de reuniões do Fed e identifique os meses sem reunião — esses meses fornecem pontos de referência fixos.
Exemplo: Se o Fed se reúne em setembro, novembro e dezembro, então outubro é um mês âncora.
Para meses com reunião do Fed, determine qual era o nível da taxa no início do mês (antes da reunião).
Use o mês âncora para trabalhar de trás para frente. Como a taxa no final de setembro é igual à taxa no início de outubro (isso é o pressuposto de continuidade), podemos deduzir de forma retroativa.
O preço dos futuros nos diz a taxa média de todo o mês. Como sabemos a taxa de início e quantos dias há antes e depois da reunião, podemos calcular a taxa de fim.
Fórmula: Taxa de Fim = (Taxa Média × Dias no Mês − Taxa de Início × Dias Antes da Reunião) ÷ Dias Após a Reunião
Simples subtração: Variação Esperada = Taxa de Fim − Taxa de Início
Isso nos diz o quanto o mercado espera que o Fed ajuste.
Divida a variação esperada por 0,25 (porque o Fed ajusta em incrementos de 25 pontos base).
Exemplo: Se a variação esperada é 0,725%, então 0,725 ÷ 0,25 = 2,9
Divida esse número em duas partes:
Então:
Nesse exemplo: probabilidade de +50 pb = 10%, probabilidade de +75 pb = 90%
Use a taxa de fim desta reunião como ponto de partida e repita todo o processo para a próxima reunião do Fed.
A metodologia CME extrai probabilidades a partir de preços de futuros em sete passos sistemáticos. Abaixo está a formalização matemática de cada passo.
Defina o conjunto de datas de reuniões do FOMC:
O mês \(t\) é um mês âncora se e somente se:
Para meses âncora, a relação é direta:
O pressuposto de continuidade estabelece:
Isso fornece condições de contorno para o sistema de equações. Se o mês \(t\) for um mês âncora e \(t+1\) contiver uma reunião do FOMC:
Para o mês \(t\) com reunião do FOMC no dia \(d\) de um total de \(n\) dias, a taxa de liquidação dos futuros representa a média ponderada pelo volume:
Resolvendo para a taxa pós-reunião:
Expresse \(x_t\) como sua parte inteira mais sua parte fracionária:
Sob o pressuposto de ramificação binária, as probabilidades neutras ao risco são:
Para a reunião \(i+1\) após a reunião \(i\), aplique o procedimento recursivamente:
As probabilidades acumuladas de caminho se multiplicam ao longo dos ramos:
A metodologia emprega propagação assimétrica para minimizar descontinuidades:
Esse design reflete o fato de que a propagação para trás usa restrições realizadas, enquanto a propagação para frente amplificaria a incerteza de previsão.
Vamos ver como tudo isso funciona na prática com um caso real. Usaremos a reunião do Fed de 21 de setembro de 2022 — um caso interessante porque o Fed estava aumentando agressivamente as taxas para combater a inflação.
Preços dos Futuros:
Outubro não tem reunião do Fed, então o cálculo é simples:
Taxa Média de Outubro = 100 − 96,9400 = 3,0600%
Essa taxa permanece constante o mês inteiro, portanto:
Setembro tem 30 dias, com a reunião do Fed em 21 de setembro.
O preço futuro de setembro nos diz a média: 100 − 97,4475 = 2,5525%
Resolvendo para a taxa de início, sabendo:
Fórmula: Média = (Dias Antes × Taxa de Início + Dias Após × Taxa de Fim) ÷ Total de Dias
Reorganizando:
Taxa de Início = (Média × Total − Dias Após × Taxa de Fim) ÷ Dias Antes
Taxa de Início = (2,5525 × 30 − 10 × 3,0600) ÷ 20
Taxa de Início = (76,575 − 30,600) ÷ 20
Taxa de Início = 45,975 ÷ 20 = 2,2988%
(Observação: A CME usa uma convenção de contagem de dias ligeiramente diferente que resulta em 2,3350%. O princípio é o mesmo!)
Variação Esperada = Taxa de Fim − Taxa de Início
Variação Esperada = 3,0600 − 2,3350 = 0,7250% = 72,5 pontos base
72,5 ÷ 25 = 2,9
Dividir em:
Probabilidade de aumento (2 × 25 pb = 50 pb) = 1 − 0,9 = 0,10 = 10%
Probabilidade de aumento (3 × 25 pb = 75 pb) = 0,9 = 0,90 = 90%
Probabilidades implícitas no mercado para a reunião do FOMC de 21 de setembro de 2022:
O que realmente aconteceu: O Fed aumentou 75 pb! O mercado previu corretamente.
Este exemplo demonstra a metodologia CME usando dados reais de mercado de setembro de 2022, quando o Fed estava em um ciclo de alta agressivo para combater a inflação.
Data de Análise: 21 de setembro de 2022
Calendário de Reuniões do FOMC:
Preços dos Contratos Futuros:
Fase 1: Estabelecer Restrição do Mês Âncora
Outubro de 2022 não contém reunião do FOMC, estabelecendo-o como mês âncora:
Pela condição de continuidade:
Fase 2: Decomposição Intramês de Setembro
Parâmetros da reunião:
Taxa média implícita:
Resolvendo para a taxa de início usando a fórmula intramês:
Observação: A CME reporta 2,3350%, usando uma convenção de contagem de dias ligeiramente diferente. A lógica metodológica é idêntica.
Fase 3: Cálculo da Variação de Taxa
Fase 4: Extração de Probabilidade
Converter para unidades de 25 pb:
Decompor em característica e mantissa:
Extraindo as probabilidades binárias:
A estrutura de árvore se expande para frente repetindo o procedimento:
Ponto de Partida: \(\text{TEFF(Início)}_{\text{Nov}} = 3{,}0600\%\)
Seguindo os mesmos passos (detalhes omitidos), a metodologia CME produz:
A árvore de expansão gera quatro resultados acumulados possíveis por novembro:
| Caminho | Movimento Set | Movimento Nov | Acumulado | Probabilidade |
|---|---|---|---|---|
| 1 | +50pb | +50pb | +100pb | 0,10 × 0,81 = 8,1% |
| 2 | +50pb | +75pb | +125pb | 0,10 × 0,19 = 1,9% |
| 3 | +75pb | +50pb | +125pb | 0,90 × 0,81 = 72,9% |
| 4 | +75pb | +75pb | +150pb | 0,90 × 0,19 = 17,1% |
Somando por variação acumulada:
21 de setembro de 2022: FOMC aumentou 75 pb (probabilidade: 90%) ✓
2 de novembro de 2022: FOMC aumentou 75 pb (probabilidade condicional: 19% | Set=75pb)
A metodologia identificou corretamente o resultado modal em setembro, mas subestimou a probabilidade de dois aumentos consecutivos de 75 pb, ilustrando que as probabilidades neutras ao risco extraídas dos futuros não correspondem necessariamente às frequências realizadas.
Uma das coisas mais poderosas da metodologia CME é que ela não prevê apenas uma reunião — prevê uma série inteira de reuniões!
Hoje (Taxa: 4,00%)
|
[1ª Reunião]
/ \
+25pb (70%) Sem mud. (30%)
/ \
Taxa: 4,25% Taxa: 4,00%
| |
[2ª Reunião] [2ª Reunião]
/ \ / \
+25pb (40%) Mant. (60%) +25pb (50%) Mant. (50%)
/ \ / \
4,50% 4,25% 4,25% 4,00%
Probabilidades Finais:
- Chegar a 4,50%: 70% × 40% = 28%
- Chegar a 4,25%: (70% × 60%) + (30% × 50%) = 42% + 15% = 57%
- Chegar a 4,00%: 30% × 50% = 15%
Como você pode ver, a árvore vai se "expandindo" — cada reunião dobra o número de caminhos possíveis!
A cada reunião adicional do Fed, as possibilidades se multiplicam:
É por isso que computadores são essenciais — a matemática fica extremamente complexa rapidamente.
A ferramenta CME avança reunião por reunião, usando a taxa de fim de cada reunião como taxa de início da próxima. Ela rastreia todos os caminhos e suas probabilidades, e exibe:
A estrutura de árvore binária expansível fornece um arcabouço sistemático para rastrear distribuições de probabilidade ao longo de múltiplas decisões de política consecutivas.
Defina o espaço de estados para a reunião \(t\):
Para cada estado \(r_{t,i} \in \mathcal{S}_t\) com probabilidade \(P_t(r_{t,i})\), a ramificação binária produz dois estados sucessores possíveis:
Seja \(p_{t,i}^{\uparrow}\) a probabilidade de mover para cima a partir do estado \(r_{t,i}\). As probabilidades de estado em \(t+1\) são agregadas de múltiplos caminhos:
onde as probabilidades de transição \(p_{t,i}(r_{t,i} \to r)\) são iguais a \(p_{t,i}^{\uparrow}\) ou \((1 - p_{t,i}^{\uparrow})\) dependendo do ramo tomado.
A estrutura de árvore exibe explosão combinatória controlada:
A complexidade da agregação de probabilidades é reduzida em relação ao rastreamento de caminhos individuais, pois muitos caminhos convergem para o mesmo nível de taxa terminal.
A expansão da árvore pode ser representada como um sistema de transição de estados. Defina o vetor de probabilidade:
A matriz de transição \(\mathbf{T}_t\), com elemento \(T_{ij}\) dando a probabilidade de transição do estado \(i\) na reunião \(t\) para o estado \(j\) na reunião \(t+1\):
Essa formalização matricial permite o cálculo eficiente de probabilidades prospectivas e análise de sensibilidade.
Múltiplos caminhos podem resultar na mesma variação acumulada de taxa. Por exemplo, uma variação acumulada de +50 pb após duas reuniões pode ser alcançada por:
A probabilidade de terminar em uma taxa-alvo é somada sobre todos os caminhos contribuintes:
A enumeração ingênua de caminhos requer operações \(O(2^T)\) para \(T\) reuniões. A programação dinâmica reduz isso para \(O(T^2)\) ao agregar probabilidades em cada estado, em vez de rastrear caminhos individuais:
Essa eficiência algorítmica permite o cálculo em tempo real mesmo para horizontes de previsão superiores a 8 reuniões.
Limite Inferior Zero: Quando as taxas se aproximam de zero, o ramo ascendente continua normalmente, mas o ramo descendente é restrito:
Reversões de Taxa: O pressuposto binário exclui implicitamente reversões imediatas de curto prazo (alta seguida de corte, e vice-versa). Isso reflete suavização comportamental, mas pode subestimar riscos de cauda em períodos de incerteza de política.
Incrementos Não Padrão: Quando os futuros implicam movimentos maiores que 25 pb (característica ≥ 1), a estrutura de árvore acomoda isso tratando o movimento maior como um único ramo em vez de múltiplos passos de 25 pb.
Nenhum método de previsão é perfeito, e a metodologia da Árvore de Expansão CME tem algumas limitações conhecidas. Entender essas limitações ajuda você a saber quando confiar nas probabilidades e quando ser mais cuidadoso.
O método pressupõe movimentos de 25 pb. Quando o Fed se move em 50 pb, 75 pb ou faz cortes de emergência, a estrutura de árvore binária precisa se adaptar. Ela lida com isso, mas com menos elegância.
Exemplo: Cortes de emergência da COVID-19 entre as reuniões regulares em março de 2020
A árvore binária sugere que há apenas duas escolhas reais em cada reunião. Mas e quando o mercado está genuinamente dividido em três direções?
Exemplo: No início de 2023, o mercado estava debatendo entre −25pb (30%), sem mudança (40%) e +25pb (30%)
O método força isso em duas categorias, distorcendo as probabilidades reais.
Lembra do Pressuposto 7? Os preços dos futuros contêm um "prêmio de risco" — operadores pagam um pouco extra por proteção. Isso significa que os preços dos futuros não são previsões puras; estão um pouco distorcidos.
Pesquisas mostram que esse viés é de cerca de 35 a 60 pb por ano e é maior durante recessões econômicas.
Quanto mais longe no futuro, menos confiável:
Isso ocorre porque os mercados de futuros têm menos liquidez com o tempo, e as condições econômicas podem mudar significativamente.
A metodologia da Árvore de Expansão CME é uma excelente ferramenta para entender as expectativas de mercado de curto prazo em condições normais. Mas em períodos de crise, transições de regime de política ou para previsões de longo prazo, deve ser usada em conjunto com outros métodos, como pesquisas, modelos econômicos ou julgamento de especialistas.
Embora a metodologia da Árvore de Expansão CME represente o padrão do setor para extração de expectativas de política a partir de futuros, ela contém diversas limitações estruturais que restringem seu domínio de aplicabilidade.
A restrição fundamental de apenas dois resultados por nó de reunião gera distorções sistemáticas quando a massa de probabilidade está genuinamente dispersa entre três ou mais cenários.
Manifestação Matemática: Considere um caso em que as probabilidades físicas são:
O arcabouço binário deve forçar isso em duas categorias, produzindo:
onde \(m\) é a mantissa. Isso inevitavelmente representa mal a distribuição verdadeira, com a distorção proporcional à massa de probabilidade no terceiro resultado excluído.
Consequências:
A metodologia extrai probabilidades neutras ao risco (\(\mathbb{Q}\)), enquanto a previsão de política requer probabilidades físicas (\(\mathbb{P}\)). A lacuna entre as duas medidas decorre do prêmio de risco:
Magnitude Empírica (Piazzesi & Swanson 2008):
Deixar de ajustar pelo prêmio de risco distorce sistematicamente as probabilidades:
O pressuposto de incrementos de 25 pb, embora historicamente fundamentado, falha durante crises que requerem ação política agressiva:
| Período | Movimento Não Padrão | Impacto na Metodologia |
|---|---|---|
| Recessão 2001–2002 | Múltiplos cortes de 50 pb | Árvore binária se adapta, mas perde elegância |
| Crise Financeira de 2008 | Corte de 100 pb (outubro), mov. entre reuniões | Pressuposto 5 violado; probabilidades instáveis |
| Crise COVID-19 de 2020 | 150 pb de cortes de emergência (março) | Altamente não padrão; previsão baseada em futuros colapsa |
| Combate à Inflação 2022–2023 | Quatro aumentos consecutivos de 75 pb | Árvore se adapta, mas subestima aumentos grandes consecutivos |
O desempenho da previsão deteriora sistematicamente com o horizonte:
Fatores que Impulsionam a Deterioração com o Horizonte:
Desempenho Comparativo por Horizonte (Gürkaynak et al. 2007):
A metodologia CME de linha de base trata todos os movimentos de taxa de forma simétrica e independente. Ela não modela:
Essas características comportamentais e institucionais podem ser incorporadas por meio de arcabouços aprimorados (como os discutidos em nossa metodologia), mas estão ausentes na implementação de linha de base da CME.
Melhores Práticas Recomendadas:
Esta página forneceu cobertura aprofundada da metodologia da Árvore de Expansão CME. Para saber como adaptamos essa metodologia para o Banco Central Europeu e o Banco da Inglaterra, retorne à página principal de metodologia.